Модель ненаблюдаемых действий с непрерывной функцией распределения выручки

Случай непрерывной функции распределения дохода фирмы подробно рассмотрен в «A Primer on Moral-Hazard Models», E. S. Prescott [7].

Предположим, возможны только два уровня усилий a = 0 или a = 1, однако наблюдаемая переменная x может принимать произвольно большое количество значений. Издержки усилий равны c(a) = a. Если уровень усилий низкий a = 0, то результат x распределён в соответствии с функцией распределения F0(x).При высоком уровне усилий a = 1 функция распределения дохода фирмы равна F1(x). Условное распределение выигрыша принципала имеет вид:

выигрыш агента равен:

Если принципал хочет реализовать а=0, то он решает задачу:

(IR)

(IC)

Решение имеет ту же структуру, что и в дискретном случае: агенту будет предоставлена полная страховка w(x) = w. При любом результате зарплата будет постоянна и определяется уравнением u(w) = U. Ограничение IR (individual rationality) выполняется как равенство, а IC (incentive compatibility) можно отбросить, так как на решения задачи оно не повлияет (в данном случае IC - неактивное ограничение).

Если надо реализовать а=1, то задача примет вид:

Выпишем Лагранжиан задачи:

Здесь - множитель к ограничению (IC), а μ - множитель к ограничению (IR). Для каждого x найдём оптимальное w(x):

Выпишем условие первого порядка:

,

или:

.

Отношение представляет собой отношение правдоподобия (likelihood ratio). Если результат работы фирмы равен x, отношение правдоподобия показывает насколько вероятно, что агент приложил много усилий. Левая часть уравнения возрастает по w, отсюда легко видеть, что w(x) возрастает по x тогда и только тогда, когда отношение правдоподобия возрастает по x. Зарплата монотонна по x тогда и только тогда, когда отношение правдоподобия монотонно (то есть имеет место MLRP - monotone likelihood ratio - свойство монотонности отношения правдоподобия). Класс распределений с монотонным отношением правдоподобия содержит большое количество функций и глубоко изучен в математической статистике. Отметим, впрочем, что взяв произвольные функции f0(x), f1(x), мы вряд ли получим MLRP. Поэтому монотонность зарплаты по x не всегда имеет место. Впрочем, после некоторого размышления можно понять, что это вполне логично. Например, рассмотрим технологию x = a+ξ, причем ξ принимает значения -1 и 1 с равной вероятностью. Тогда принципал будет точно знать, что агент приложил низкий уровень усилий (a = 0) тогда и только тогда, когда x = −1 или x = 1, но будет полагать, что уровень усилий был высоким, если x = 0 или x = 2. Если принципал хочет, чтобы агент выбрал высокий уровень усилий, необходимо наказывать агента в случаях x = −1 и x = 1 и поощрять в случаях x = 0 и x = 2. Получается, что w(1) < w(0).

Почему эта проблема не возникает в простейшей постановке? Дело в том, что для случайной величины с двумя возможными значениями MLRP эквивалентно FOSD (условию стохастического доминирования первого порядка, F1(x) ≤ F0(x) для всех x), и оба записываются достаточно просто: p1 > p0, где pa - вероятность высокой прибыли принципала при выборе усилий a. В случае же, когда возможных исходов хотя бы три, из MLRP следует FOSD, но не наоборот. Поэтому FOSD (достаточно естественное предположение, выполняющееся, например, для x = g(ε, a), где ε - случайная величина, g возрастает по a) в общем случае недостаточно для монотонности w(x) (как показано выше). Заметим, что зарплата определяется только отношением правдоподобия, то есть в данном случае отношение правдоподобия является достаточной статистикой для x. Это один из главных результатов теории контрактов. Он показывает, какие именно переменные должны быть записаны в контракт. Если принципал хочет стимулировать тот или иной уровень усилий, вознаграждение при заданном исходе x должно зависеть только от условной вероятности того, что был выбран именно желаемый уровень при условии, что имеет место x, то есть от отношения правдоподобия [7].

Немного больше по теме

Повышение экономической эффективности использования материально-технической базы предприятия
Теоретические основы эффективности использования материально-технической базы предприятия материальный фонд производство инструмент ...